a.

\(3\sqrt{-x^2+x+6}\ge2\left(1-2x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-x^2+x+6\ge0\\1-2x< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}1-2x\ge0\\9\left(-x^2+x+6\right)\ge4\left(1-2x\right)^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}-2\le x\le3\\x>\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\25\left(x^2-x-2\right)\le0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\dfrac{1}{2}< x\le3\\\left\{{}\begin{matrix}x\le\dfrac{1}{2}\\-1\le x\le2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1\le x\le3\)

b.

ĐKXĐ: \(x\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x^2+8x+5}-4\sqrt{x}+\sqrt{2x^2-4x+5}-2\sqrt{x}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2+8x+5-16x}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-4x+5-4x}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{2x^2-8x+5}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(2x^2-8x+5\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{2x^2+8x+5}+4\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{2x^2-4x+5}+2\sqrt{x}}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow x=\dfrac{4\pm\sqrt{6}}{2}\)

Câu b còn 1 cách giải nữa:

Với \(x=0\) không phải nghiệm

Với \(x>0\) , chia 2 vế cho \(\sqrt{x}\) ta được:

\(\sqrt{2x+8+\dfrac{5}{x}}+\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=6\)

Đặt \(\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=t>0\Leftrightarrow2x+8+\dfrac{5}{x}=t^2+12\)

Phương trình trở thành:

\(\sqrt{t^2+12}+t=6\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{t^2+12}=6-t\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}6-t\ge0\\t^2+12=\left(6-t\right)^2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}t\le6\\12t=24\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow t=2\)

\(\Rightarrow\sqrt{2x-4+\dfrac{5}{x}}=2\)

\(\Leftrightarrow2x-4+\dfrac{5}{x}=4\)

\(\Rightarrow2x^2-8x+5=0\)

\(\Leftrightarrow...\)

a, ĐKXĐ : \(\left[{}\begin{matrix}x\le-3\\x\ge0\end{matrix}\right.\)

TH1 : \(x\le-3\) ( LĐ )

TH2 : \(x\ge0\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+2x+x^2+3x+2\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge4x^2\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(x^2+2x\right)\left(x^2+3x\right)}\ge x^2-\dfrac{5}{2}x\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{\left(x+2\right)\left(x+3\right)}\ge2x-5\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x< \dfrac{5}{2}\\x\ge-2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x\ge\dfrac{5}{2}\\4x^2+20x+24\ge4x^2-20x+25\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}0\le x< \dfrac{5}{2}\\x\ge\dfrac{5}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow x\ge0\)

Vậy \(S=R/\left(-3;0\right)\)

a, ĐKXĐ : \(D=R\)

BPT \(\Leftrightarrow x^2+5x+4< 5\sqrt{x^2+5x+4+24}\)

Đặt \(x^2+5x+4=a\left(a\ge-\dfrac{9}{4}\right)\)

BPTTT : \(5\sqrt{a+24}>a\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}a+24\ge0\\a< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}a\ge0\\25\left(a+24\right)>a^2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\\left\{{}\begin{matrix}a^2-25a-600< 0\\a\ge0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-24\le a< 0\\0\le a< 40\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-24\le a< 40\)

- Thay lại a vào ta được : \(\left\{{}\begin{matrix}x^2+5x-36< 0\\x^2+5x+28\ge0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow-9< x< 4\)

Vậy ....

b, ĐKXĐ : \(x>0\)

BĐT \(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\right)< x+\dfrac{1}{4x}+1\)

- Đặt \(\sqrt{x}+\dfrac{1}{2\sqrt{x}}=a\left(a\ge\sqrt{2}\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2=x+\dfrac{1}{4x}+1\)

BPTTT : \(2a\le a^2\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a\le0\\a\ge2\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow a\ge2\)

\(\Leftrightarrow a^2\ge4\)

- Thay a vào lại BPT ta được : \(x+\dfrac{1}{4x}-3\ge0\)

\(\Leftrightarrow4x^2-12x+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow x=(0;\dfrac{3-2\sqrt{2}}{2}]\cup[\dfrac{3+2\sqrt{2}}{2};+\infty)\)

Vậy ...

Bài 1:

Vì $a\geq 1$ nên:

\(a+\sqrt{a^2-2a+5}+\sqrt{a-1}=a+\sqrt{(a-1)^2+4}+\sqrt{a-1}\)

\(\geq 1+\sqrt{4}+0=3\)

Ta có đpcm

Dấu "=" xảy ra khi $a=1$

Bài 2:
ĐKXĐ: x\geq -3$

Xét hàm:

\(f(x)=x(x^2-3x+3)+\sqrt{x+3}-3\)

\(f'(x)=3x^2-6x+3+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}=3(x-1)^2+\frac{1}{2\sqrt{x+3}}>0, \forall x\geq -3\)

Do đó $f(x)$ đồng biến trên TXĐ

\(\Rightarrow f(x)=0\) có nghiệm duy nhất

Dễ thấy pt có nghiệm $x=1$ nên đây chính là nghiệm duy nhất.

Lời giải:
ĐK: $x,y,z\geq 0$

Áp dụng BĐT Cô-si:

\(\frac{x}{x+1}+\frac{y}{y+1}+\frac{z}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{xyz}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)

\(\frac{1}{x+1}+\frac{1}{y+1}+\frac{1}{z+1}\geq 3\sqrt[3]{\frac{1}{(x+1)(y+1)(z+1)}}\)

Cộng theo vế và thu gọn:

\(3\geq 3.\frac{\sqrt[3]{xyz}+1}{\sqrt[3]{(x+1)(y+1)(z+1)}}\Leftrightarrow (x+1)(y+1)(z+1)\geq (1+\sqrt[3]{xyz})^3\)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$

Thay vào pt $(1)$ thì suy ra $x=y=z=1$

Do \(x^6-x^3+x^2-x+1=\left(x^3-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}>0\) ; \(\forall x\) nên BPT tương đương:

\(\sqrt{13}-\sqrt{2x^2-2x+5}-\sqrt{2x^2-4x+4}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}\le\sqrt{26}\) (1)

Ta có:

\(VT=\sqrt{\left(2x-1\right)^2+3^2}+\sqrt{\left(2-2x\right)^2+2^2}\ge\sqrt{\left(2x-1+2-2x\right)^2+\left(3+2\right)^2}=\sqrt{26}\) (2)

\(\Rightarrow\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\sqrt{4x^2-4x+10}+\sqrt{4x^2-8x+8}=\sqrt{26}\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(2\left(2x-1\right)=3\left(2-2x\right)\Leftrightarrow x=\dfrac{4}{5}\)

Vậy BPT có nghiệm duy nhất \(x=\dfrac{4}{5}\)

a) \(\sqrt{5x}=\sqrt{35}\)

ĐK : x ≥ 0

Bình phương hai vế

pt ⇔ 5x = 35 ⇔ x = 7 ( tm )

b) \(\sqrt{36\left(x-5\right)}=18\)

ĐK : x ≥ 5

Bình phương hai vế

pt ⇔ 36( x - 5 ) = 324

    ⇔ x - 5 = 9

    ⇔ x = 14 ( tm )

c) \(\sqrt{16\left(1-4x+4x^2\right)}-20=0\)

⇔ \(\sqrt{4^2\left(1-2x\right)^2}=20\)

⇔ \(\sqrt{\left(4-8x\right)^2}=20\)

⇔ \(\left|4-8x\right|=20\)

⇔ \(\orbr{\begin{cases}4-8x=20\\4-8x=-20\end{cases}}\)

⇔ \(\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=3\end{cases}}\)

d) \(\sqrt{3-2x}\le\sqrt{5}\)

ĐK : x ≤ 3/2

Bình phương hai vế

bpt ⇔ 3 - 2x ≤ 5

⇔ -2x ≤ 2

⇔ x ≥ -1

Kết hợp với ĐK => Nghiệm của bpt là -1 ≤ x ≤ 3/2

\(a,\sqrt{5x}=\sqrt{35}\left(x\ge0\right)\)

\(\Leftrightarrow5x=35\)

\(\Leftrightarrow x=7\left(tm\right)\)

vậy...

b, \(\sqrt{36\left(x-5\right)}=18\left(x\ge5\right)\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x-5}=18\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-5}=3\)

\(\Leftrightarrow x-5=9\)

\(\Leftrightarrow x=14\left(tm\right)\)

vậy...

c, \(\sqrt{16\left(1-4x+4x^2\right)}-20=0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{\left(1-2x\right)^2}=20\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(1-2x\right)^2}=5\)

\(\Leftrightarrow\left|1-2x\right|=5\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}1-2x=5\\1-2x=-5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=3\end{cases}}\)

vậy....

\(d,\sqrt{3-2x}< 5\left(x< 1.5\right)\)

\(\Leftrightarrow3-2x< 25\)

\(\Leftrightarrow-2x< 22\)

\(\Leftrightarrow x>-11\)

\(\Rightarrow-11< x< 1.5\)

vạy.

a) ĐKXĐ : x lớn hơn hoặc bằng 0

\(\sqrt{5x}=\sqrt{35}\)

\(\Leftrightarrow5x=35\Leftrightarrow x=7\left(tm\right)\)

Vậy ...........

b) ĐKXĐ : x lớn hơn hoặc bằng

\(\sqrt{36\left(x-5\right)}=18\)

\(\Leftrightarrow6\sqrt{x-5}=18\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x-5}=3\)

\(\Leftrightarrow x-5=9\Leftrightarrow x=14\left(tm\right)\)

Vậy .........

c) \(\sqrt{16\left(1-4x+4x^2\right)}-20=0\)

\(\Leftrightarrow4\sqrt{\left(2x-1\right)^2}=20\)

\(\Leftrightarrow\left|2x-1\right|=5\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}2x-1=5\\2x-1=-5\end{cases}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-2\end{cases}}}\)

d) 

 \(\sqrt{3-2x}\le\sqrt{5}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}3-2x\ge0\\\sqrt{5}\ge0\\3-2x\le5\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}-2x\ge-3\\-2x\le2\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le\frac{3}{2}\\x\ge1\end{cases}\Leftrightarrow}1\le x\le\frac{3}{2}}\)

Lời giải:ĐK: $x>3$

Ta có BĐT quen thuộc: $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$

Do đó:

$|x^2-2|+|2-\sqrt{x-3}|\geq |x^2-2+2-\sqrt{x-3}|=|x^2-\sqrt{x-3}|$

Dấu "=" xảy ra khi:

$(x^2-2)(2-\sqrt{x-3})\geq 0$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{x-3}\geq 0$ (do $x>3$)

$\Leftrightarrow x< 7$

Vậy $7>x> 3$ thì dấu "=" xảy ra. Nghĩa là nghiệm của BPT là 

$[7;+\infty)\cup (-\infty;3]$

Lời giải:ĐK: $x>3$

Ta có BĐT quen thuộc: $|a|+|b|\geq |a+b|$. Dấu "=" xảy ra khi $ab\geq 0$

Do đó:

$|x^2-2|+|2-\sqrt{x-3}|\geq |x^2-2+2-\sqrt{x-3}|=|x^2-\sqrt{x-3}|$

Dấu "=" xảy ra khi:

$(x^2-2)(2-\sqrt{x-3})\geq 0$

$\Leftrightarrow 2-\sqrt{x-3}\geq 0$ (do $x>3$)

$\Leftrightarrow x< 7$

Vậy $7>x> 3$ thì dấu "=" xảy ra. Nghĩa là nghiệm của BPT là 

$[7;+\infty)\cup (-\infty;3]$